文/罗军 曹君辉

复核/邵旭东

引言

上期已与大家分享了关于UHPC材料裂缝宽度控制的特点以及普通钢纤维混凝土裂缝宽度计算的内容。本期将和大家分享关于UHPC裂缝宽度计算的内容。

三、UHPC裂缝宽度计算

    与普通混凝土或普通钢纤维混凝土相比，UHPC的抗压强度较高，致使钢筋、钢纤维与UHPC基体的粘结强度大大提高，配筋UHPC构件即使在钢纤维含量较低的条件下往往也能呈现应变硬化与多元裂缝开展的良好性能。因而，直接将普通混凝土或普通钢纤维混凝土的裂缝宽度计算公式用于配筋UHPC结构会过于保守。目前，世界各国规范及学者对配筋UHPC构件的裂缝宽度计算方法的研究方兴未艾，鉴于其本质特征仍是裂缝宽度由主裂缝间距内钢筋与混凝土的应变差值决定，通常均借鉴了普通混凝土或普通钢纤维混凝土的裂缝宽度计算方法，并引入考虑UHPC特殊性能的修正参数，从而提出配筋UHPC的(最大)裂缝宽度计算建议公式。

3.1规范和文献中UHPC裂缝宽度主要计算方法介绍和分析

3.1.1荷兰Delft大学的推荐公式

荷兰Delft大学Yang Yuguang等以普通钢筋混凝土裂缝宽度的微分形式推导方法为基础，考虑HPC的裂后剩余抗拉强度，提出了配筋HPC（High Performance Concrete）的裂缝宽度计算方法。分析模型仍为钢筋混凝土或配筋HPC轴拉杆，如图3-1所示。

图3-1轴拉杆裂缝间应力分布

3.1.1.1 基本方程

变形协调的基本微分方程为：

受力平衡的基本微分方程为：

钢筋与混凝土的物理方程为：

式中： s为钢筋与混凝土之间的滑移量；τb(s)为钢筋与混凝土之间的粘结应力，是滑移量s的函数；εs、εc分别为轴拉杆微段内钢筋与混凝土的应变；Fs、Fc为分别为轴拉杆微段内钢筋与混凝土承担的拉力。

	联立三式(3-1)、(3-2)与(3-3)，可解得：

式中：n为钢筋与混凝土弹模比，等于Es/Ec；ρ为截面配筋率，等于As/Ac。

3.1.1.2 边界条件

    将坐标轴系统的原点设定在两裂缝间的中点位置，裂缝间距设定为2l。对于普通钢筋混凝土，公式(3-4)的边界条件为：

   

 然而，对于配筋HPC，钢纤维的桥接作用可分担裂缝处的钢筋拉力。HPC的剩余抗拉强度σc,cr可表示为裂缝张开位移w (cracking opening displacement, COD)的函数，即σc,cr=σ(w)。此时，式(3-5)的边界条件为：

    

为了简化微分方程的求解，假定HPC的剩余抗拉强度为定值，同时，钢筋与HPC的粘结应力也为定值，即：

	式中：fct为HPC的抗拉强度；α为HPC剩余抗拉强度对抗拉强度fct的折减系数；k为粘结应力系数，可取值为2。

3.1.1.3 传递长度计算

    对于配筋HPC，坐标原点处，即裂缝间距中点位置HPC的拉应力为：

	当σc0达到HPC的抗拉强度fct，此时l定义为传递长度lt。联立公式(3-7)、(3-8)与(3-9)，可解得：

当裂缝间距为2倍传递长度lt时，裂缝宽度取最大值。联立公式(3-4)、(3-6)与(3-10)，可解得滑移量的函数表达式：

	式中：

	此时，裂缝宽度等于裂缝两边的滑移量之和，即

	联立公式(3-11)、(3-12)与(3-13)，可解得最大裂缝宽度的表达式为：

	从整个推导过程来看，该最大裂缝宽度公式完全基于粘结-滑移理论，以普通钢筋混凝土裂缝宽度的微分形式推导方法为基础，考虑HPC的裂后剩余抗拉强度，提出了配筋HPC的裂缝宽度计算方法，分析模型仍为钢筋混凝土，且未考虑保护层厚度对裂缝宽度的影响。

3.1.2德国Kassel大学的推荐公式

    德国kassel大学TorstenLeutbecher等基于粘结滑移理论推导了配筋UHPC轴拉杆的裂缝宽度计算公式。同样，该公式的推导过程也分为三个阶段：未开裂阶段、初裂阶段与裂缝稳定开裂阶段。因推导方法与上文类似，此处不再详细介绍推导过程，仅列出推导过程中的重要假设和结论。

3.1.2.1 初裂阶段

    在初裂阶段，假定在传递长度内钢筋与UHPC的粘结应力呈二次分布，如图3-2所示。最大裂缝宽度取决于两倍传递长度范围内钢筋与UHPC的应变差值，即：

图3-2轴拉杆裂缝附近的应变分布

最终推得：初裂阶段，最大裂缝宽度的表达式为：

3.1.2.2裂缝稳定开展阶段

    在裂缝稳定开展阶段，外力增量完全转化成钢筋的应力增量。裂缝宽度的增量只取决于裂缝间距内钢筋的应变增量。在计算最大裂缝宽度时，选择两倍传递长度为最大裂缝间距。最终的最大裂缝宽度表达式为：

化简可得：                                                                                                                                                                                                               

    从推导过程来看，本方法基于粘结滑移理论推导了配筋UHPC轴拉杆

的裂缝宽度计算公式，但也同样未考虑钢筋保护层厚度这一重要影响因素对裂缝宽度的影响。

3.1.3法国UHPFRC-2016规范的推荐公式

    法国规范中，裂缝宽度计算仅适用于本构关系为应变软化或低应变硬化的UHPC，而不适用于本构关系为高应变硬化的UHPC。对于高应变硬化的UHPC，当其拉应变处于弹性极限和强度极限之间时，即处于设计使用阶段内时，仅会出现非常细小密布的微裂纹，而不会出现局部裂缝，没有必要进行裂缝控制。根据不同的结构性质(配筋情况)，裂缝计算过程如下：

3.1.3.1 仅含无粘结配筋的UHPC梁

    按应变软化受拉本构关系，假定其最大受拉纤维的应变为εt，裂缝宽度需满足如下公式：

3.1.3.2当含有粘结配筋时式中：Wmax——最大裂缝宽度限值，参照表1-1取值。对于本构关系为低应变硬化的UHPC，按其特征应变软化受拉本构关系进行验证。

上述公式不再适用。为确保UHPC和钢筋之间的协同工作，裂缝宽度计算应针对最大受拉处的钢筋应力。

钢筋埋置深度处裂缝宽度Ws:

      εsm,f——钢筋的平均应变值，考虑了滑移及裂缝间纤维的拉伸强化效应的影响。对于预应力钢筋，只有当附加拉应变超过了混凝土消压水平时发生的应变，才被考虑；
式中：Sr,max,f——最大裂缝间距；

     εcm,f——裂缝间UHPC应变平均值；(εsm,f -εcm,f)为裂缝间钢筋与UHPC的应变差。

    从式子（3-20）可以看出，钢筋埋置深度处裂缝宽度的计算主要是确定最大裂缝间距和钢筋混凝土应变差。

 

（1）裂缝间钢筋与混凝土应变差

1)仅含有普通钢筋或预应力筋时

式中：σs——开裂截面钢筋中的应力。若为预应力钢筋时，∆σp代替σs，为混凝土应变消压时对应的附加钢筋应力；

    Kglobal为纵向钢筋取向系数，局部荷载作用下取1.75，其余荷载作用下取1.25

    ρeff ——有效配筋率，ρeff=As/Ac,eff或Ap/Ac,eff；

    Ac,eff——含钢筋的混凝土在受拉区高度为hc,eff范围内的有效面积，hc,eff等于min{2.5(h-d);h/2}；

    kt——与荷载持续时间或者反复作用相关的系数，对于短期荷载kt =0.6，当混凝土处于早期龄期或受大幅反复加载时，对于长期荷载kt =0.4。

    对于轴拉应力-应变关系为低应变硬化的UHPC，上式中的fctm,el和fctfm被fctk,el和fctfk所替换，fctk,el为弹性阶段极限拉应力特征值，fctfk为最大开裂应力特征值。

2)同时含有普通钢筋和预应力筋

普通钢筋和预应力钢筋结合时，依据平截面假定(σs'=∆σp')的裂缝宽度计算将不再精确，因为普通钢筋与UHPC之间的粘结强度和预应力钢筋与UHPC之间的粘结强度不同。此时，可进行修正得更加精确的σs和∆σp，修正系数如下(假定EP=ES)：

	预应力钢筋和普通钢筋结合时，根据Ep=Es的假定，ρeff的表达式替换如下：

	如果钢筋间距太大，平截面假定就不再满足。此时(εsm,f -εsm,f )的计算公式只能用来计算钢筋附近的裂缝(第一类裂缝)宽度ws和wt。对于远离钢筋或钢筋间的裂缝(第二类裂缝)宽度需采引入一个经验系数。

    对于不含纤维的钢筋混凝土，仅当fctfm=0时，上述(εsm,f -εcm,f )的计算公式才适用；对于含纤维但不含钢筋的混凝土，可假定上述两类裂缝的裂缝宽度相同；对于同时含有钢筋和纤维的混凝土，较保守地假定两类裂缝的裂缝宽度不相同。

（2）最大裂缝间距sr,max,f

根据UHPC构件内的配筋情况，最大裂缝间距计算分为两种情况。

1)仅含有普通钢筋或预应力筋

假定所有钢筋或预应力筋具有相同的直径和粘结强度，则最大裂缝间距为保护层厚度和传递长度之和：

   

表3-1预应力钢束-UHPC与普通钢筋-UHPC粘强度之比

  说明：η’p*考虑了同种钢筋在UHPC和管道中粘结强度的差异；

    对于本构关系为低应变硬化的UHPC，上式中的fctm,el和fctfm用fctk,el和fctfk所替换。

2)同时含有普通钢筋及预应力筋

    当Ac,eff含有粘结强度相同但直径不同的钢筋时，直径Φ用下式换算直径Φeq代替：

当预应力钢筋和普通钢筋结合时，传递长度lt修正如下：

依据钢筋埋置深度处裂缝宽度的计算可以得到UHPC表面裂缝宽度wt。UHPC表面裂缝宽度wt需考虑两种情况。

1)最大表面裂缝宽度wt,b满足下式：

2)相邻钢筋中心在5(c+Φ/2)和10(c+Φ/2)之间时，最大裂缝宽度修正如下：

3)当相邻钢筋间距大于10(c+Φ/2)时，式子（3-32）计算时，取S=10(c+Φ/2)

	3.2现有计算方法的不足与展望

    综上所述，裂缝宽度计算中钢筋应力σs和受拉区不开裂高度x'的计算的关键。各国规范中钢筋应力σs均为裂缝宽度计算的重点。我国《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG D62-2004)中，对于受弯构件，钢筋应力计算时完全不考虑受拉区混凝土的作用，估算公式如下：

    显然，对于采用UHPC的构件而言，以上钢筋应力的算法过于偏保守，是不合理的。现有公式未能考虑UHPC应变硬化效应，可能引起钢筋应力计算偏差，从而存在不合理之处。因此，在计算超高性能混凝土中受拉区钢筋应力时，应考虑部分或全部超高性能混凝土参与工作。根据UHPC的受力特点，钢筋应力及截面受拉区高度的计算思路简述如下：假设可视裂缝时截面应变分布满足平截面假定，并考虑受拉区UHPC全部参与截面受力，UHPC部分的应变位于受拉应力-应变关系的伪应变强化段，且受拉区UHPC开裂强度为fct,el。根据截面轴力和弯矩平衡求得截面应变分布(曲率和中性轴位置)，从而得到钢筋应变和应力。最后由钢筋应力可计算UHPC层顶面的裂缝宽度。